La función de distribución acumulada empírica (FDAE)

Dada una muestra de tiempos de falla sin censura:

\[ \hat{F}(t) = \frac{\#\{T_i \leq t\}}{n} \]

Es un estimador escalonado, que da saltos en cada observación.
La función de supervivencia empírica se define como:

\[ \hat{S}(t) = 1 - \hat{F}(t) \]

Limitación: no puede manejar adecuadamente datos censurados.

Ejemplo en R: FDAE

Estimador de Kaplan-Meier

Cuando hay censura, la FDAE no es válida. Kaplan-Meier estima la función de supervivencia como:

\[ \hat{S}(t) = \prod_{t_i \leq t} \left(1 - \frac{d_i}{n_i} \right) \]

donde:

• \(d_i\): número de eventos en el tiempo \(t_i\)
• \(n_i\): número de individuos en riesgo justo antes de \(t_i\)

Es un estimador escalonado que ajusta el denominador cuando hay censura.

Ejemplo en R: Kaplan-Meier

Call: survfit(formula = surv_obj ~ 1, data = datos)

 time n.risk n.event survival std.err lower 95% CI upper 95% CI
    2      8       1    0.875   0.117        0.673        1.000
    3      7       1    0.750   0.153        0.503        1.000
    4      6       1    0.625   0.171        0.365        1.000
    6      4       1    0.469   0.187        0.215        1.000
    7      3       1    0.312   0.178        0.102        0.955
   10      1       1    0.000     NaN           NA           NA

Comparación conceptual

Ejemplo: Ensayo clínico con cáncer

Representación gráfica del seguimiento

Programación en R

• Librería survival:

library(survival)
Surv(tiempo, status)

• Este objeto puede usarse en:
  • Surv() codifica la información de tiempo y censura.
  • survfit() ajusta curvas de supervivencia (Kaplan-Meier).
  • coxph() para modelos de Cox

La función Surv() de survival

library(survival)

# Censura derecha
tiempos <- c(5, 8, 12, 3, 10)
evento <- c(1, 0, 1, 1, 0)  # 1 = evento, 0 = censurado

datos <- Surv(tiempos, evento)
datos

[1]  5   8+ 12   3  10+

• Crea un objeto de clase Surv.
• Es la base para ajustar modelos de supervivencia.

Visualizando Surv() con tipos de censura

# Censura izquierda
tiempos <- c(5, 8, 12, 3, 10)
evento <- c(1, 0, 1, 1, 0)
Surv(tiempos, evento, type = "left")

[1]  5   8- 12   3  10-

# Censura por intervalo
inferior <- c(2, 6, 7, 5, 1)
superior <- c(4, 6, 9, 6, 3)
evento <- c(3, 0, 3, 0, 3)  # 3 = intervalo
Surv(inferior, superior, type = "interval2")

[1] [2, 4] 6      [7, 9] [5, 6] [1, 3]

Ajuste con survfit()

library(survival)

# Datos con censura derecha
tiempos <- c(5, 8, 12, 3, 10)
evento <- c(1, 0, 1, 1, 0)
datos <- Surv(tiempos, evento)
print(datos)

[1]  5   8+ 12   3  10+

modelo <- survfit(datos ~ 1)  # sin covariables
summary(modelo)

Call: survfit(formula = datos ~ 1)

 time n.risk n.event survival std.err lower 95% CI upper 95% CI
    3      5       1      0.8   0.179        0.516            1
    5      4       1      0.6   0.219        0.293            1
   12      1       1      0.0     NaN           NA           NA

• survfit() ajusta una curva de Kaplan-Meier.

Graficando la curva de supervivencia

plot(modelo, xlab = "Tiempo", ylab = "Supervivencia estimada",
     main = "Curva de Kaplan-Meier")

Puedes usar ggsurvplot() del paquete survminer para una mejor presentación visual.

Conjunto de datos gastricXelox de la biblioteca asaur

library(asaur)
data("gastricXelox")

Ejercicio

Call: survfit(formula = Surv(timeMonths, delta) ~ 1, data = gastricXelox)

   time n.risk n.event survival std.err lower 95% CI upper 95% CI
  0.926     48       1    0.979  0.0206        0.940        1.000
  1.851     47       3    0.917  0.0399        0.842        0.998
  2.083     44       1    0.896  0.0441        0.813        0.987
  2.545     43       1    0.875  0.0477        0.786        0.974
  2.777     42       1    0.854  0.0509        0.760        0.960
  3.008     41       1    0.833  0.0538        0.734        0.946
  3.702     40       2    0.792  0.0586        0.685        0.915
  3.934     38       2    0.750  0.0625        0.637        0.883
  4.397     36       1    0.729  0.0641        0.614        0.866
  4.860     35       1    0.708  0.0656        0.591        0.849
  5.554     34       2    0.667  0.0680        0.546        0.814
  5.785     32       1    0.646  0.0690        0.524        0.796
  6.479     31       2    0.604  0.0706        0.481        0.760
  6.942     29       1    0.583  0.0712        0.459        0.741
  8.562     28       2    0.542  0.0719        0.418        0.703
  9.719     26       1    0.521  0.0721        0.397        0.683
  9.950     25       1    0.500  0.0722        0.377        0.663
 10.645     23       1    0.478  0.0722        0.356        0.643
 12.264     19       1    0.453  0.0727        0.331        0.620
 13.653     16       1    0.425  0.0735        0.303        0.596
 13.884     14       1    0.394  0.0742        0.273        0.570
 14.810     13       1    0.364  0.0744        0.244        0.544
 15.273     12       1    0.334  0.0742        0.216        0.516
 17.587     11       1    0.303  0.0734        0.189        0.487
 18.050     10       1    0.273  0.0720        0.163        0.458

Comparación entre grupos

Note: La p-value corresponde a la prueba log-rank para igualdad de curvas.

Prueba Log-Rank

Call:
survdiff(formula = Surv(tiempo, evento) ~ grupo, data = datos.df)

        N Observed Expected (O-E)^2/E (O-E)^2/V
grupo=A 3        2     1.23     0.477     0.825
grupo=B 3        2     2.77     0.212     0.825

 Chisq= 0.8  on 1 degrees of freedom, p= 0.4 

Salida típica:

     N Observed Expected (O-E)^2/E (O-E)^2/V
grupo= A 3      2.0      1.2     0.533   0.60
grupo= B 3      1.0      1.8     0.356   0.60

Modelo de riesgos proporcionales de Cox

Call:
coxph(formula = Surv(tiempo, evento) ~ grupo, data = datos.df)

  n= 6, number of events= 4 

         coef exp(coef) se(coef)      z Pr(>|z|)
grupoB -1.073     0.342    1.235 -0.869    0.385

       exp(coef) exp(-coef) lower .95 upper .95
grupoB     0.342      2.924   0.03036     3.851

Concordance= 0.727  (se = 0.136 )
Likelihood ratio test= 0.81  on 1 df,   p=0.4
Wald test            = 0.75  on 1 df,   p=0.4
Score (logrank) test = 0.83  on 1 df,   p=0.4

Salida relevante:

             coef exp(coef) se(coef) z     Pr(>|z|)
grupoB     -0.847    0.429   1.155  -0.733   0.463

Interpretación: - HR = 0.429 indica que grupo B tiene menor riesgo relativo, pero no es significativo.

Supuestos del modelo de Cox

Note: El test de cox.zph() evalúa el supuesto de proporcionalidad de riesgos.

Actividad práctica guiada

Datos: lung del paquete survival.

Pasos:

1. Cargar datos con data(lung)
2. Crear objeto Surv(time, status)
3. Estimar curvas por sex
4. Probar igualdad con log-rank
5. Ajustar modelo de Cox con covariables
6. Evaluar supuestos

Note: Proporciónales la estructura base y pídeles completar la interpretación.